Dans cette partie, nous étudierons l'évolution d'une suite mathématique, définie de manière récurrente. Cette expression a été découverte pas Verhuslt (1804-1849) en étudiant l'évolution de populations animales.

Soit la suite (Un) de premier terme Uo tel que 0<Uo<1.

Un+1 = 4Un.(1-Un)

Nous n'avons pas pu définir cette suite de manière récurrente car elle nécessite des connaissances liées au programme de terminale S que nous n'avions donc pas.

Dans un premier temps, on prend Uo = 0,145675 puis on calcule les 31 premiers termes.

Voici le tableau de quelques une de ces valeurs :

On a ensuite tracé la courbe représentative de cette suite (Un en fonction de n) afin de mieux visualiser son évolution :

 

Ensuite on effectue le même travail avec Uo = 0,145676

on a donc le tableau suivant :

et la courbe suivante :

Afin de mieux comparer les deux suites, on superpose les deux courbes :

Par observation graphique, on constate que, en ce qui concerne les 10 premiers termes, les deux suites semblent identiques mais à plus long terme, elles deviennent totalement différentes. Cette différence est due à un changement d'un millionième pour Uo.

Etant donné qu'une variation infime de Uo entraîne une évolution radicalement différente pour les deux courbes, on peut qualifier cette suite de suite chaotique.