Nous allons illustrer cette partie par deux expériences. La première porte sur l'étude de la trajectoire d'une bille de billard sur laquelle on a placé plusieurs obstacles de forme circulaire et de même dimensions. La seconde concerne un circuit électrique dont on mesure plusieurs tensions.

 

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PREMIÈRE EXPÉRIENCE :

La compréhension de notre première expérience nécessite une étude préalable de la réflexion des rayons lumineux projetés sur des miroirs de forme circulaire.

Nous avons donc un miroir de centre O et de rayon R. Une source lumineuse est placée à une distance d de ce miroir. On projette un faisceau lumineux ayant un angle d'ouverture ß. Ce dernier est réfléchit par le miroir selon les règles de réflexion de Descartes. Ainsi, l'angle d'incidence i entre le rayon incident et la droite passant par le point d'impact et le centre O est égal à l'angle de réflexion r entre cette même droite et le rayon émergent : i = r. De même i' = r'.

Le faisceau réfléchit forme un nouvel angle d'ouverture ß' tel que :

                        ß' = ß + ((2dß) / R.cos i)

donc ß' est supérieur à ß.

Accès à la démonstration.

Dans le cadre de notre expérience, le premier rayon est apparenté à la trajectoire du centre de gravité d'une bille lors du lancé 1 et le second rayon au lancé 2. L'angle d'ouverture des rayons est quant à lui l'angle entre les deux lancés. Les obstacles et les bordures du billard se comportent comme les miroirs, l'angle d'incidence sera égal à l'angle de réflexion.

On effectue un premier lancé, ici, la trajectoire du centre d'inertie de la bille apparaît sous forme de trait noir.

Schéma du premier lancé (la représentation de la bille n'est pas à l'échelle):

 

 

On procède ensuite à un second lancé dont les conditions initiales sont extrêmement proches à celles du premier (direction et vitesse quasi égales et on ne donne aucun effet à la bille).

Voici le schéma combiné du premier et du second lancé. Comme précédemment, la trajectoire du centre d'inertie de la bille au lancé 1 apparaît en noir et celle du lancé 2 est représentée en orange :

On observe très clairement que les trajectoires finales sont très différentes alors que les lancés initiaux se voulaient être identiques. Une différence en apparence infime a donc été à l'origine de cette variation de trajectoire.

Ce système est donc chaotique, étant donné qu'il est très sensible aux conditions initiales.

 

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DEUXIÈME EXPÉRIENCE :

Cette expérience a été inspiré à partir d'un montage électrique figurant dans le hors série de janvier 1995 du magazine Pour la science et créé par un professeur du lycée. Nous réaliserons d'abord un montage témoin puis le montage expérimental.

 

Montage témoin :

Schéma :

Le circuit électrique est branché en série et alimenté par un générateur de signaux délivrant une tension sous forme de sinusoïde d’amplitude constante. Voici ses différents composants :
- Générateur de signaux
- Résistance (100 Ohm )
- Inductance (100 micro henry)
- Diode
- 2 Rhéostat (1000 Ω et 100 Ω)

A l'aide d'un oscilloscope, on relève les tensions aux bornes de la diode (Voie A) et de l'association des deux rhéostats (Voie B). Pour chaque relevé, nous augmentons l'amplitude de l'intensité dans le circuit en diminuant la résistance du rhéostat. La loi de fonctionnement d'une diode et d'une résistance est : U=R*I (U tension aux bornes V, R résistance Ω, I intensité du courant électrique A). Ainsi lorsque nous augmentons l'amplitude de l'intensité; l'amplitude des tensions augmente. On ne considérera pas les valeurs en elles mêmes mais plutôt l'allure générale des courbes. Pour le circuit témoin, on obtient les sinusoïdes suivantes :

La première sinusoïde correspond à la voie B et la seconde à la voie A.

           

    On constate comme prévu que l'amplitude des tensions augmente et que la forme générale de ces dernières est conservée.

 

Montage expérimental :

Dans le montage expérimental, on ajoute au circuit précédent un amplificateur de tension alimenté en tension continue symétrique (-15 ; +15 V) dont voici le schéma.

Il sera relié en série dans notre circuit par sa borne d'entrée E+. La borne E- sera reliée à la bornes E+ par une résistance. Lorsque la tension de sortie (borne S) sera supérieur à sa tension d'alimentation, le régime sera saturé.

Le circuit électrique est donc branché en série et alimenté par un générateur de signaux délivrant une tension sous forme de sinusoïde d’amplitude constante. Voici ses différents composants :
- Générateur de signaux
- Résistance (100 Ω)
- Inductance (100 micro henry)
- Diode
- 2 Rhéostat (1000 Ω et 100 Ω)
- Amplificateur de tension

Comme précédemment, on relève les tensions aux bornes de la diode et de l'association des deux rhéostats.

           

Contrairement au montage témoin, l'allure générale des courbes change totalement à partir d'une certaine amplitude de l'intensité du courant électrique. Cette modification n'est pas prévisible. Etant donné qu'entre les deux circuit la seule différence est la présence d'un amplificateur de tension. C'est donc l'amplificateur de tension qui est à l'origine du comportement chaotique de ce circuit.